LEI DOS COSSENOS

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QUESTÃO DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA

(UFJF-MG) Em 2004, foi realizada, em Atenas, a 28^o  Olimpíada da era moderna, evento esportivo que acontece de quatro em quatro anos.

Com base nessas informações, pode-se afirmar que a edição da Olimpíada de 1948 e o ano de 50^a  Olimpíada da era moderna, supondo que não haja interrupção, são, respectivamente:

a) 14ª  e 2200

b) 15ª  e 2204

c) 15ª  e 2086

d) 14ª  e 2092

e) 17ª  e 2092

RESOLUÇÃO

Como em 2004 foi realizada a 28^a olímpiada , podemos enumera-las da seguinte forma:

Assim, temos

Utilizando a relação do termo geral, podemos calcular a₁, ou seja, o ano em que foi realizada a 1^a olímpiada, logo

Como a₂₈ = 2004 e r = 4, então substituiremos na relação

Assim encontramos o ano em que 1^a olímpiada foi realizada, ou seja, 1896.

Como queremos calcular a edição da olímpiada de 1948, novamente vamos utilizar a relação do termo geral, sabendo que, a_n = 1948 , logo

Então a olímpiada de 1948 foi a 14^a edição.

Agora iremos calcular o ano da 50^a olímpiada da era moderna, ou seja, calcular o a₅₀ . Assim n = 50 .

Utilizando a relação do termo geral, temos

Concluímos que a 50^a olímpiada será realizada no ano de 2092.

QUESTÃO DE TRIGONOMETRIA CONTEXTUALIZADA

O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura. Suponha que em um instante t, em segundos, a altura h(t) do pistão, em centímetros, possa ser descrita pela expressão:

a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge.

b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza, funcionando durante um minuto?

 RESOLUÇÃO COMENTADA

a) A expressão altura máxima e altura mínima está fazendo referência ao conjunto imagem da função seno, que tem a variação

Assim, utilizaremos o valor mínimo da função seno, para determinar a altura mínima.

Substituindo na função dada, temos

Assim, a altura mínima é 0 cm.

De maneira análoga, utilizaremos o valor máximo da função seno, para determinar a altura máxima.

Substituindo na função dada, temos

Assim, a altura máxima é 8 cm.

b) Para calcular o período da função seno utilizamos a relação

Sendo k o coeficiente da variável do arco da função.

Sendo, 

Substituindo k na relação, temos

Podemos observar que o pistão completa 20 ciclos por segundo.  Portanto em 1 minutos, ou seja, 60 segundos , temos

QUESTÃO DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA

(UCMG) Os diâmetros das polias assentadas em um eixo comum formam uma progressão aritmética de cinco termos, sendo os termos extremos iguais a 120 mm e 216 mm. O diâmetro, em mm, da Segunda polia, na ordem crescente, é:

a) 134

b) 144

c) 154

d) 158

e) 182

RESOLUÇÃO COMENTADA

Inicialmente podemos escrever a Progressão aritmética da seguinte forma:

Sabendo que cada termo representa o diâmetro de uma polia e que os extremos são 120 mm e 216 mm, assim temos:

Então podemos escrever a P.A. da seguinte maneira:

Lembrando que numa Progressão aritmética, temos a seguinte propriedade, a média aritmética dos extremos é igual ao termo central da P.A. quando esta possuir quantidade ímpar de termos, logo:

Portanto,

De forma análoga, temos:

Concluímos, que a segunda polia mede 144 mm.

QUESTÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

(Vunesp) Considere os números complexos  w = 4 + 2i  e  z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é |z| e a base é a parte real de z.w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm².

RESOLUÇÃO COMENTADA

I. A altura do triângulo = |z|

Relação para encontrar o módulo de z é:

II. Sendo a base do triângulo a parte real de z.w:

Como i² = –1, temos

Como a parte real de z.w é 4a, temos, a base do triângulo também é 4a. Portanto a > 0.

Logo, temos:

Relação da área do triângulo:

Assim, 

QUESTÃO DE MATRIZES CONTEXTUALIZADA

(UFMT) Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias (Tabela I). Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção de um único exemplar de cada produto. Faz-se, também uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por estação (Tabela II).

As tabelas I e II podem ser representadas, respectivamente, pelas matrizes:

A empresa apresenta a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total por estação de cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais.
A partir das informações dadas, julgue os itens.
( ) A tabela apresentada pela empresa a seus acionistas é representada pela matriz MP de ordem 3 · 4.
( ) Os elementos na primeira linha de MP representam o custo total de matéria-prima para cada uma das quatro estações.
( ) O custo com despesas gerais para o outono será 2.160 dólares.

RESOLUÇÃO COMENTADA

Vamos chamar a tabela I de matriz A  e a tabela II de matriz B, portanto quando multiplicarmos a matriz A pela matriz B, a matriz produto A X B = C será do tipo:

A matriz C nos mostrará na 1^a linha, na 2^a linha e na 3^a linha o custo da matéria-prima, o custo do pessoal e o custo das despesas gerais, respectivamente, nesta ordem.

Efetuando a multiplicação de matrizes temos as seguintes combinações lineares: 

Então, teremos a matriz C, que representa o Custo total por estação de cada uma das três categorias:

Analisando cada item, concluímos:

(V) (M X P) é uma matriz 3 x 4.

(V) Linha 1: custo de matéria prima em cada uma das quatro estações.

(F) Custo de despesa gerais para o outono: a₃₂ = 1900.

QUESTÃO DE CONJUNTOS

(USP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7 
b)8 
c)9 
d)10 
e)11

Resolução Comentada

I) M é o conjunto dos das que choveu pela manhã

II) T é o conjunto dos dias que choveu pela tarde

OBS: Como não houve um dia que choveu pela manhã e pela tarde, logo as manhãs e tardes que choveram foram em dias diferentes.

Assim podemos, afirmar que os conjuntos M e T são disjunto, ou seja,

Por consequência, podemos afirmar que M’ e T’ são complementares de M e T, respectivamente. 

Utilizando a relação da união de dois conjuntos temos:

sendo n o dias de férias, Assim temos:

Como choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde, o conectivo ou indica a união de conjunto, logo 

Portanto,  

.

Somando-se, os dias que não choveram pela manhã com os dias que não choveram pela tarde, que são os complementares, temos:

Chamando  n = n(M) + n(T) os dias de férias que choveram e n = n(M') + n(T') os dias de férias que não choveram, temos: